Funciones Trigonométricas
Facultad de Matemáticas UC
La función \[ f(x)=\sin(x), \quad x\in \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] \] es inyectiva, con recorrido \([-1,1]\). De este modo, \(f\) admite función inversa que denotaremos \[ f^{-1}(x)=\arcsin(x) \] y denominaremos arcoseno.
Nota.
Para todo \(x\in [-1,1]\), la función arcoseno satisface la relación \[ \sin(\arcsin(x))=x \] Si interpretamos a la función arcoseno como un ángulo, en \(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\), entonces:

"El \(\arcsin(x)\) es el ángulo tal que el seno vale \(x\)".

Ejemplo.
Calcule \[ 2\arcsin\left(1\right)-3\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
La gráfica de la función arcoseno es una reflexión de la curva \(y=\sin(x)\), con \(-\tfrac{\pi}{2}\leq x \leq \tfrac{\pi}{2}\), en torno a la recta \(y=x\).
Gracias a la propiedad de función impar del seno tendremos:
\begin{eqnarray*} \arcsin(-b)=-\arcsin(b) \end{eqnarray*}
Teorema
La función arcoseno es impar, es decir \[\arcsin(-x)=-\arcsin(x), \quad x\in [-1,1].\]
Ejemplo.
Calcule \[ \arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \]
La función \[ f(x)=\cos(x), \quad x\in [0,\pi] \] es inyectiva, con recorrido \([-1,1]\). De este modo, \(f\) admite función inversa que denotaremos \[ f^{-1}(x)=\arccos(x) \] y denominaremos arcocoseno.
Nota.
Para todo \(x\in [-1,1]\), la función arcocoseno satisface la relación \[ \cos(\arccos(x))=x \] Si interpretamos a la función arcocoseno como un ángulo, en \([0,\pi]\), entonces:

"El \(\arccos(x)\) es el ángulo tal que el coseno vale \(x\)".

Ejemplo.
Calcule \[ \arccos\left(0\right)\left(\arccos\left(1\right)-\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) \]
La gráfica de la función arcocoseno es una reflexión de la curva \(y=\cos(x)\), con \(0\leq x \leq \pi\), en torno a la recta \(y=x\).
Podemos probar que \(\cos(\pi-x)=-\cos(x)\), usando la fórmula para diferencia de ángulos. Luego,
\begin{eqnarray*} \arccos(-b)+\arccos(b)=\pi \end{eqnarray*}
Teorema
La función arcocoseno no es par, pero satisface la siguiente relación \[\arccos(-x)+\arccos(x)=\pi, \quad x\in [-1,1].\]
Ejemplo.
Calcule \[ \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) \]
La función \[ f(x)=\tan(x), \quad x\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \] es inyectiva, con recorrido \((-\infty,\infty)\). De este modo, \(f\) admite función inversa que denotaremos \[ f^{-1}(x)=\arctan(x) \] y denominaremos arcotangente.
Nota
Para todo \(x\in (-\infty,\infty)\), la función arcotangente satisface la relación \[ \tan(\arctan(x))=x \] Si interpretamos a la función arcotangente como un ángulo, en \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), entonces:

"La \(\arctan(x)\) es el ángulo tal que la tangente vale \(x\)".

Ejemplo.
Calcule \[ \arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)-\arctan\big(\sqrt{3}\big) \]
La gráfica de la función arcotangente es una reflexión de la curva \(y=\tan(x)\), con \(-\frac{\pi}{2}\lt x \lt \frac{\pi}{2}\), en torno a la recta \(y=x\).
Gracias a la propiedad de función impar de la tangente tendremos:
\(\arctan(-b)=-\arctan(b)\)
Teorema
La función arcotangente es impar, es decir \[\arctan(-x)=-\arctan(x)\] para todo \(x\in (-\infty,\infty)\).
Ejemplo.
Calcule \[ \arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\arctan(-1)+\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
Ejemplo.
Calcule \(\sin\left(2\arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)\right)\).
Tarea.
Calcule \(\cos\left(2\arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)\).